Combinación ecuación conservación movimiento con energía

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JARK
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Combinación ecuación conservación movimiento con energí­a

Mensaje por JARK »

En un caso practico real estudiado por la Agrupación de Tráfico, establecio la combinación de la acuación de la conservación de la cantidad del movimiento con la de la conservación de la energí­a, así­:

M1V1 + M2V2 = M1V1`+ M2V2`.
1/2 M1.V1^2+1/2M2.V2^2=1/2M1.V'1^2+1/2M2.V'2^2+Edefor1+Edefpr2+Eetc

A la primera ecuación, no insertaron angulos de entradas y de salidas de los vehí­culos, si bien, fue una colisión frontal ligeramente oblicua.

Entiendo a que los angulos eran muy reducidos , desecharon esos valores y calcularon la velocidad sin tener en cuenta las razones trigonométricas.

Particularmente, en dos casos en los que he calculado la velocidad con angulos de entrada muy reducidos, tampoco he insertado las razones trigonométricas, aplicando las ecuaciones anteriores para resolver las dos incóginas de las velocidades precolisión V1 y V2.

¿Está en lo cierto el investigador de la Agrupación de Tráfico?
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pichulo
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Re: Combinación ecuación conservación movimiento con energí­a

Mensaje por pichulo »

Estimado Jark

Si sospechas que podes calcularlo como colisión colineal me parece bien hacerlo, solo que al final del cálculo habiendo conocido los valores de velocidad hay que verificar la validez de la hipótesis planteada.

Supongamos el caso que un automovilista embiste a un motociclista.
El automovilista tiene masa m1 = 1000 Kg y velocidad inicial v1. El motociclista m2 = 300 Kg y velocidad inicial V2 perpendicular a v1.

Ubicando el eje x coincidente con V1 tendremos

Tg a = (m2 v2) / (m1 v1)
De esta relación obtenemos el ángulo del í­mpetu resultante del sistema antes o después de la colisión ya que se conserva.
Cuando tenemos ángulos pequeños, menor o igual a 0.067 radianes ( 4º) podemos no calcular la tangente y reemplazarla por el mismo ángulo ya que se aproximan al mismo valor. También pasa lo mismo con el seno que puede simplificarse.

Entonces siguiendo el ejemplo planteado.

Si tg a = (m2 v2) / (m1 v1 ) = ( 300 v2 ) / ( 1000 v1 ) = 0.3 v2/v1

Basta que la razón de las velocidades calculadas v2 / v1 sea menor a 0.22 para que sea válido la hipótesis de colinealidad ya que

Tg a = 0.3 v2/v1 = 0.3 x 0.22 = 0.067

Si la razón de velocidades hace que el cociente de los í­mpetus sea mayor de 0.067 olvidar lo calculado y empezar de nuevo con dos dimensiones.

Bueno desde ya las crí­ticas me son bienvenidas. Les mando un saludos grande a todos
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maxtor
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Re: Combinación ecuación conservación movimiento con energí­a

Mensaje por maxtor »

Saludos cordiales.

El principio de conservación de la energí­a siempre lo combinaremos con el Principio de la Cantidad de Movimiento Lineal al objeto de poder averiguar las velocidades de salida a la colisión de las dos unidades de tráfico que colisionan, y lógicamente también si previa a la colisión tenemos huellas de derrape o frenada, por ejemplo.

Cuando dos turismos impactan para aplicar el PCCML todos sabemos que en principio despreciamos las fuerzas externas al sistema formado por los dos vehí­culos que nos darán dos ecuaciones; esto es, el rozamiento, fricción, rodadura, aire, lo desechamos y la gravedad es compensada por la fuerza normal del suelo. Los dos vehí­culos se aproximan y chocan, ejerciéndose mutuamente durante el choque unas fuerzas variables de acción – reacción, iguales y de sentido opuesto, según determina la tercera Ley de Newton.

Esas fuerzas internas al sistema se anulan en todo momento, se trata de un sistema aislado y por consiguiente se conservará siempre el movimiento lineal o cantidad de movimiento del sistema. Esto es, momento lineal antes del choque (o cantidad de movimiento como dicen algunos libros) = momento lineal después.

M1 V1 + M2 V2 = M1 V`1 + M1 V`2

El problema de la energí­a cinética es que no siempre podemos decir que se conserva, esto ocurre cuando no solamente es nula la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema, sino además cuando el tragajo de las fuerzas interiores es nulo.

Distinguimos dos clases de choques: el elástico cuando se conserva la energí­a cinética durante el choque, e inelástico cuando la energí­a cinética no se conserva durante el mismo. Y se llama perfectamente inelástico cuando los vehí­culos quedan empotrados o unidos después del choque.

El caso que comenta Jark supondrí­a un choque elástico frontal, es decir se produce el choque sólo en una dimensión (en la lí­nea de su centro) y sí­ combinariamos la conservación del momento lineal y de la energí­a cinética ( ésta última sólo en el choque elástico).

Prescindiendo del carácter vectorial, innecesario por tratarse de un problema unidimensional, podemos escribir:

M1 V1 + M2 V2 = M1 V`1 + M1 V`2
1/2 M1.V1^2+1/2M2.V2^2=1/2M1.V'1^2+1/2M2.V'2

Si se conocen las masas y velocidades antes del choque, el sistema anterior permite determinar las velocidades finales. El sistema de ecuaciones anterior se puede sustituir por otro equivalente de cálculo más sencillo, formado por la primera ecuación y una combinación lineal de las dos.

De este modo, la ecuación de la energí­a cinética se puede escribir como:
M1 (V²1 - V²`1) = M2 (V`²2 - V²2)

Y la del momento lineal:

M1(V1 – V`1) = M2( V`2 – V2)

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones resulta:

V1 + V`1 = V2 + V`2

Con lo cual el sistema final que nos da la solución del choque elástico es:

M1 V1 + M2 V2 = M1 V`1 + M1 V`2

V1 + V`1 = V2 + V`2

Siempre necesitaremos saber la velocidad de algunos de los vehí­culos antes de la colisión, por ejemplo porque tenga tacógrafo. No es muy útil a nivel práctico y a excepción de una colisión perfectamente inelástica donde ambos vehí­culos salen unidos tras la colisión, la aplicación de las leyes de la conservación del movimiento no sirven por sí­ solas para determinar el movimiento final a partir del conocimiento de las condiciones iniciales. Se precisa, más datos para resolver el problema.

La ecuación que expresa la conservación del momento lineal es:

M1 V1 + M2 V2 = M1 V`1 + M1 V`2, y es una ecuación vectorial, que por ejemplo en el caso sencillo de que el movimiento del sistema tenga lugar en un plano cada velocidad tiene dos componentes, y por tanto, son 4 incógnitas por deducir: las 2 componentes de la velocidad V`1 y las dos componentes de V`2; pero sólo tenemos 3 relaciones conocidas: las 2 ecuaciones escalares a que da lugar la ecuación anterior y la relación de conservación de la energí­a cinética. Generalmente, el dato adicional necesario para resolver el problema suele darse especificando el ángulo de retroceso de una de las partí­culas que chocan, determinado experimentalmente.

Eso está muy bien a nivel teórico, pero consideremos dos partí­culas alejadas que las identificamos con los subí­ndices 1 y 2, moviéndose a una determinada velocidad. Se acercan entrando en una zona de influencia, chocan y salen de la colisión con velocidades generalmente distintas a las que poseí­an antes del impacto, pudiendo varias la masa y la naturaleza de las partí­culas tras el choque. Tras cualquier choque la CANTIDAD DE MOVIMIENTO del sistema formado por las dos partí­culas ( o vehí­culos) que entran en colisión se conserva, debido a que no existen fuerzas externas al sistema:

M1 V1a + M2 V2a = M1* V`1d + M2* V`2 d

Donde:

M1: masa del vehí­culo 1 antes del impacto.
M2: masa del vehí­culo 2 antes del impacto.
M1*: masa del vehí­culo 1 después del impacto.
M2*: masa del vehí­culo 2 después del impacto.
V1a = velocidad del vehí­culo 1 antes del impacto (vectorial).
V`1d: velocidad de la partí­cula 2 después del impacto.

A partir de aquí­ es aplicar la vectorialidad de la velocidad y sus respectivas cantidades vectoriales de movimiento en el eje X y el eje Y que dibujaremos en el punto de colisión y resolver.

El desarrollo de la ecuación que ha puesto el compañero Jark, es como consecuencia de tener en cuenta una colisión exoérgica o inelástica de 2º clase que se produce siempre entre dos vehí­culos, donde E inicial = E final + Q, siendo Q la energí­a de reacción que se evidencia sobre todo en la energí­a de deformación de los vehí­culos y en forma de calor disipado. Considerando dos vehí­culos que entran en colisión en un plano horizontal (por lo que no tendremos en cuenta sus energí­as potenciales), se puede plantear de forma general el siguiente balance energético:

E inicial = E final.

La energí­a antes del choque, considerando las energí­as cinéticas de traslación únicamente y sin considerar la rotación de ambos vehí­culos será:

E inicial = ½ M1 V1a² + ½ M2 V2a².

Tras el choque cada uno de los vehí­culos dispondrá de una energí­a cinética de traslación y rotación residual, parte de la energí­a cinética se habrá consumido en deformación de los vehí­culos y otra parte disipará en forma de calor:

E final = ½ M1* V`1d + ½ M2* V`2 d + E deformación n1 + Energí­a deformación n2 + Q.

Si conocemos las posiciones finales de los vehí­culos, se puede simplificar notablemente el problema para realizar estimaciones en una primera aproximación, calculando las velocidades finales o de salida de la colisión en base a las trayectorias seguidas por los vehí­culos desde el punto de colisión hasta sus posiciones finales y teniendo en cuenta otros aspectos que habitualmente tenemos en cuenta con un modelo basado en PCE; derrapes, frenadas, arrastres, deformaciones, etc. Teniendo en cuenta lo anterior, si las velocidades al final de la colisión tienen valores Va2 y Vb2 y los ángulos que forman estos vectores con el eje de abscisas del sistema de referencia son θ a2 y θb2, la conservación de la cantidad del movimiento del sistema formado por ambos vehí­culos permite formular:

MaVa1cos θa1 + MbVb1cos θb1 = MaVa2cos θa2 + MbVb2cos θb2.
MaVa1sen θa1 + MbVb1sen θb1 = MaVa2sen θa2 + MbVb2sen θb2.

De estas ecuaciones podemos calcular las velocidades iniciales en función de las finales de la colisión, debiendo siempre estimar los ángulos de entrada pre y post-colisión.

Saludos desde Benidorm.
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pichulo
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Re: Combinación ecuación conservación movimiento con energí­a

Mensaje por pichulo »

Estimados Maxtor, Jark y lectores

Interpreto que lo que Jark necesitaba saber es si está bien que se plantee una colisión colineal, es decir aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento en una dimensión o se debí­a haber hecho en dos dimensiones.

Sobre la aplicación del principio de conservación de la energí­a está bien planteado para colisiones inelásticas pero como es una ecuación escalar no me responde a la pregunta de Jark

La ecuación del PCCM, que es una ecuación vectorial, si puede escribirse como lo hizo Maxtor al final de su aporte cuando la colisión sea tratada bidimensionalmente o como lo hicieron en la Agrupación de Tráfico para casos unidimensionales.

El caso expuesto era una colisión ligeramente oblicua, a simple vista corresponde una colisión bidimensional y aplicar el PCCM en dos dimensiones con las dos ecuaciones expuestas al final por Maxtor

Pero acá debemos ir a lo mas básico, ¿Qué hipótesis simplificativas se aceptaron como válidas antes de plantear este modelo fí­sico que pretende modelar la compleja realidad?
Por lo que veo se adopta válido es sistema de partí­culas donde cada masa es tratada como una masa puntual, es decir no se modela rotación alguna, las partí­culas no tienen í­mpetu angular ni energí­a cinética de rotación. (que dan lugar a dos ecuaciones más)
Atento a esto ¿Que pasa ante un volantazo de último momento que produzca giro y un leve cambio de dirección en la velocidad? ¿Qué pasarí­a si las ruedas de un lado frenaran antes que las del otro?
Todo esto y muchas cosas más entran en nuestro modelo como error, y me parece bien que así­ sea cuando nuestro modelo contempla la gran mayorí­a de la realidad y lo no contemplado es conocido en cuantí­a y estemos seguros que no alteran significativamente los resultados.

Entonces lo que intenté aclarar es que en colisiones de masas disí­miles es decir auto contra bicicleta, camión cargado contra auto, auto contra peatón etc, dentro de un intervalo de velocidades no se comete error significativo al simplificar y plantear una colisión colineal ( PCCM en una dimensión).

Una vez que en una causa, un automovilista habí­a embestido a un ciclista, el ciclista circulaba por una calle perpendicular a la del auto. Yo tení­a huellas de frenada del auto con un leve ángulo de salida. Calculé la velocidad inicial del auto.
Ahora, si lo hubiera tratado en dos dimensiones, implicaba también que el ciclista que tení­a poca masa respecto al auto debí­a haber ido a 120 km/hs para cambiarle la dirección de la velocidad del auto y su cantidad de movimiento. Cosa extremadamente dudosa, de la que no estaba convencido ya que tení­a prueba en contrario por la posición final del ciclista y que me implicaba un mega problema en el juzgado, con la consecuente impugnación de la pericia en el mejor de los casos.

Además que cuando calculaba el PCCM en una dimensión llegaba a un valor casi igual para la velocidad inicial del auto. Similarmente a lo que expuse arriba verificaba la hipótesis de colinealidad.
Atento a lo que pude analizar, atribuí­ el cambio de dirección a un probable volantazo de último momento antes del bloqueo de ruedas del auto e hice el planteo de colisión colineal.

Encontrando para este caso que la simplificación del modelo fí­sico de tratar el principio de conservación de la cantidad de movimiento en una dimensión me modelaba mejor la realidad que al plantear dicho principio con dos ecuaciones en el plano.

Ante todo gracias por la oportunidad de charlar con ustedes de estos temas, trayendo a mi memoria este caso querí­a comentarles parte de mi criterio de cómo aplicar el PCCM, encontrando muy valioso el aporte de Maxtor que bien enriquece este foro. De todos modos es recomendable aplicar el PCCM en dos dimensiones y luego analizar los resultados sobre todo en colisiones entre masas similares.

Saludos cordiales

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